Fáze v RLC

Teoretický základ

ELEKTRICKÉ KMITY

Na Obr. 1 je znázornený elektrický obvod zostavený sériovým zapojením kondenzátoru C, induktoru L a odporu R. Odpor môže byť do obvodu zaradený ako záťaž, ale často predstavuje odpor vinutia cievky a stratové javy v kondenzátore.

1_schema_zapojenia

Obr. 1: Schéma zapojenia RLC obvodu bez zdroja

Ako získame v takomto obvode elektrické kmity? Predpokladajme, že kondenzátor C je pred zopnutím spínača K nabitý na napätie U0. Energia akumulovaná v obvode je tak obsiahnutá v energii elektrického poľa kondenzátora. Ak v čase t = 0 s zopneme spínač, začne obvodom prechádzať prúd I(t) a na jednotlivých prvkoch obvodu vznikajú napätia (na odpore) a elektromotorické napätia (na induktore). Na kondenzátore je náboj, ktorý sa mení s časom

3_eq1 (1)

a napätie

3_eq2 (2)

Na indukčnosti sa vytvára podľa Faradayovho zákona elektromagnetickej indukcie napätie

3_eq3 (3)

Na odpore potom vzniká napätie

3_eq4 (4)

Algebrický súčet týchto napätí v obvode sa musí podľa II. Kirchhoffoveho zákona rovnať nule,

3_eq5 (5)

alebo

3_eq6 (6)

Po derivácii podľa času a po úprave vznikne diferenciálne rovnica elektrických kmitov

3_eq7 (7)

kde sme označili 3_eq7-5 a veličinu

3_eq8 (8)

ako vlastnú uhlovú frekvenciu netlmených kmitov (pri R = 0), nazývanú aj ako Thomsonov vzorec. Za reálnu uhlovú frekvenciu ω0 musíme považovať hodnotu

3_eq9 (9)

avšak vo väčšine prípadov môžeme člen

3_eq10 (10)

zanedbať, z dôvodu nízkej hodnoty odporu R v obvode, a teda za rezonančnú frekvenciu môžeme považovať hodnotu ω0.

Pripojením obvodu k zdroju harmonického elektromotorického napätia o uhlovej frekvencii ω dostane diferenciálna rovnica tvar

3_eq11 (11)

Pre účel vypracovávania experimentu z www stránka http://remotelab3.truni.sk nám stačí poznať riešenie rovnice (7) , kde toto riešenie označujeme ako ustálené riešenie. Hľadisko prechodových javov v tomto experimente nemusíme bližšie rozoberať, nakoľko ho nijak neovplyvňuje.

Prúd prechádzajúci takýmto obvodom môžeme charakterizovať rovnicou

3_eq12 (12)

kde je amplitúda prúdu a φ je počiatočná, a kde pre tieto veličiny platia vzťahy

3_eq13 (13)
3_eq14 (14)

Z daných vzťahov si môžeme všimnúť, že ako amplitúda prúdu, tak aj jeho fáza sú funkciou frekvencie a vykazujú závislosť od tejto veličiny. Prúd môže podľa hodnoty frekvencie napätie vo fáze predbiehať, alebo za ním zaostávať. Pri istej frekvencii ωrez je amplitúda prúdu maximálna Io rez a súčasne je pri tejto frekvencii fázový posun nulový φ=0. A to je práve stav, kedy hovoríme, že daný obvod je v rezonancii.

3_charakteristika

Obr. 2: Amplitúdová a fázová charakteristika rezonančného obvodu

PRENESENÝ VÝKON

Hlavným účelom použitia diskrétnych RLC obvodov je práve rezonančný prenos energie (alebo výkon – ako energia prenesená za jednotku času) zo zdroja energie do záťaže. Táto energia je daná v elektrických obvodoch vzťahom

3_eq15 (15)

kde I(t) predstavuje okamžitú hodnotu prúdu v obvode, a vzťah okamžitý výkon. Integrál z tejto závislosti vyjadruje strednú hodnotu preneseného výkonu Pstr preneseného zo zdroja (vysielača) do obvodu (záťaže). Rovnako môže byť tento výkon vyjadrený rovnicou [4]

3_eq16 (16)

pričom na Obr. 3 vidíme závislosť preneseného výkonu od budiacej frekvencie ω.

3_graf_stredny_preneseny_vykon

Obr. 3: Stredný prenesený výkon zo zdroja na záťaž v obvode

Literatúra

[1] BESANÇON, R.M.: The encyclopedia of physisc. 3th ed. New York : Van Nostrand Reinhold, 1990, 1378 p. ISBN 0-442-00522-9.

[2] HALLIDAY, D., RESNICK, R., KRANE, K.S.: Physics : extended version. Volume two – 4th ed. New York : John Wiley & Sons, Inc., 1992. 1216 p. ISBN 0-471-54804-9.

[3] TIRPÁK A.: Elektromagnetizmus. Bratislava : Polygrafia SAV, 1999. 710 s.

[4] LINDSAY, R.B.: Physical Mechanics, 3rd ed., New Jesrsey – Princeton : Van Nostrand, 1962. 436 s.